AP微积分核心概念之什么是极限,附案例解析


来源:   时间:2017-01-18 09:10:22

  忙碌的申请季和考试季终于结束了,有些同学是不是正准备快快乐乐的过年呢?所以今天这篇文章咱们就暂时不讲备考方面的干货,来给即将准备学习和参加5月份AP考试的同学介绍一下两个微积分的核心概念之一极限,很有意思的概念哦。
 
  什么是极限呢?简单的说极限就是去无限地趋近一个东西。比如我们想找到一个商品的正确定价,我们可以先尝试一个价格,随后看看市场反馈。过了一段时间发现价格定高了,市场反馈不是很好,于是只好降价。又过了一段时间,因为价格过低又出现了供不应求的情况,然后又决定调高涨价。可是最好的价格到底是多少呢?没有人知道,但是我们根据经验,知道这个利润最大化的价格是一定存在的。如何找到它呢?最简单的方法是通过观察产品以往的价格,然后看这些价格趋近于哪个数字,那这个数就是最理想的值了。
 
  因此用微积分解决问题的不同就在于:我们不再简单粗暴地通过加减乘除来找到问题的答案,而是需要不断地去试探结果,直到找到它为止。在计算量过大的时候,我们会借助电脑和像MATLAB之类的构造和处理数学模型软件来找到它。
 
  下面给大家具体的介绍一下初等微积分相关的极限:
 
  1.关于函数的极限:当x无线接近于某个数值时,f(x)的取值。比如我们都知道f(x)=1/x,在x趋近于无穷大的时候f(x)趋近于0. 而在x无限接近于0的时候,f(x)会变得无穷大。
 
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  2.关于数列的极限:一组数列的第无穷项是几?我们来看一个数列:a1=0.5, a2=0.25,a3=0.125.....
 
  细心的同学就会发现这个数列的第n项其实就是0.5的n次方,那么第无穷项其实就是0.
 
  小时候有个问题一直困扰大家,到底1和0.999999....是不是一个数呢?其实他们是一个数,所谓的0.999999....其实就是数列0.9,0.99,0.999.....的极限,也就是1-1/(10n)的极限,当n是无穷大的时候,后半部分就不存在了,换言之就是0.000....1其实就是0。对这个问题要有疑问的同学可在底下留言哦!
 
  接下来具体地讲一个运用极限的案例:汽车行驶时的瞬时速度。
 
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  我们都知道通过汽车的仪表盘可以来知晓汽车的速度,看看自己有没有超速。但这个速度可不是平均速度哦,而是汽车的瞬时速度。这个速度是怎么求出来的呢?比如汽车正在北京的5环路上行驶,时间刚好是下午1点整,汽车可以通过车轮的转速计算出车的瞬时速度,假设我们持有的设备只有秒表和汽车的里程表,也就是说我们可以知道每段时间所行驶的路程,以及这段时间的平均速度。那么我们该如何求出汽车的瞬时速度呢?
 
  通过这两个仪器其实是不能够算出汽车的瞬时速度的,但是可以进行很精确的估算。我们可以计算出汽车在1点钟到1点零分零1秒时的平均速度,这个速度一定是非常接近与汽车的瞬时速度的,因为汽车在1秒内的速度变化不会很大。如果想要更加精确的话,可以把时间段从1秒减少至0.1秒,这样估算的结果会更加接近真实的瞬时速度。这个时间段可以无限的小下去,越小结果就准确。如果我们把每次的估算值都记录下来,并且找到极限的话,那么就找到瞬时速度了。
 
  下期会给大家介绍关于微积分的另一个核心概念:可数性。
 
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  李若诚
  北京沃邦国际课程项目负责人 。获得多伦多大学理科学士学位,UBC大学经济学硕士学位。对ACT科学,数学,SAT2数学,AP宏、微观经济学,微积分,统计学等科目均有深入研究,三年出国英语考试培训经验,教授学生近千人。帮助很多学生取得ACT科学33分以上,数学36的成绩,SAT2数学满分,AP微积分、宏微观经济学、AP统计5分的成绩。
 
  优势:专业知识过硬,能够让学生深入的理解知识点。


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