ACT数学真题中渐近线求法详解


来源:   时间:2016-11-18 11:22:26

  数学是ACT考试的一部分,也是中国考生比较擅长的一块,跟SAT数学部分差不多,难度并不大,但也有一些内容会困扰一部分学生,譬如我们今天要分享的渐近线知识,话不多说,我们用几个例题来看看ACT数学真题中如何用渐近线来求解题目。
 
  渐近线(Asymptote)
 
  首先我们得明确什么是“渐近线”,英文叫“Asymptote”。从定义来看,渐近线是指:曲线上一点M沿曲线无限远离原点时,如果M到一条直线的距离无限趋近于零,那么这条直线称为这条曲线的渐近线。渐近线可分为:垂直渐近线(Vertical Asymptote)、水平渐近线(Horizontal Asymptote)和斜渐近线(Oblique Asymptote)。而在ACT数学的考试中,一般只考察水平渐近线和垂直渐近线。
 
  下面分别来看这两种渐近线的求法:
 
  垂直渐近线:就是指当x→C时,y→∞。一般来说,满足分母为0的x的值C,就是所求的渐进线。x = C 就是垂直渐进线。
 
  例题1
 
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  本题给出的函数式是一个分数形式,众所周知,分数的分母不为0,也就是x永远取不到203x+204=0解出的值,所以解出203x+204=0的值,x=-204/203,即为这个函数的垂直渐近线,答案选D。
 
  例题2
 
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  本题和上一题有异曲同工之妙,因为是分数形式,即分母不能为0。让分母为0,也就是x=0即为这个函数的垂直渐近线,答案选F。
 
  水平渐近线:就是指在函数f(x)中,x→+∞或-∞时,y→c,y=c就是f(x)的水平渐近线。所以我们需要考虑的是x无限变大或者变小后,y的变化情况。
 
  例题3
 
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  因为考察的是水平渐近线,也就是看随着x无限变大或者变小后,y无限接近于什么数值。现在因为分式上下都有变量,所以先将等式拆分为2x/(x+a)+b/(x+a),变换形式将2x/(x+a)上下同时除以x,得到2/(1+a/x),因为a/x为反比例函数,所以随着x的无限增大或者无限变小,a/x趋近于0,那么2/(1+a/x)趋近于2,也就是2x/(x+a)趋近于2。再将b/(x+a)上下同除x,得到(b/x)/(1+a/x)。b/x是反比例函数,所以随着x的无限增大或者变小,整个数值趋近于0,b/(x+a)整个式子也无限趋近于0。所以整个式子的渐近线是y=2,答案选F。
 
  例题4
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  本题同理,因为分式上下都有变量,不好判断变化方向和范围,所以先将原式变成2x2/(x2-5x)-18/(x2-5x),2x2/(x2-5x)分子分母同除以x2得到2/(1-5/x),因为5/x是反比例函数,随着x的无限变大或者变小,整个式子无限趋近于0,所以整个式子2/(1-5/x)的值无限趋近2。再将18/(x2-5x)分子分母同除以x,得出(18/x)/(x-5),18/x是反比例函数,随着x无限变大或者变小,18/x趋近于0,因为分子为0,所以(18/x)/(x-5)无限趋近0。因此y=(2x2-18)/(x2-5x)整个式子无限趋近于2,答案选K。
 
  综上所述,我们在算渐近线的时候:
 
  1. 判断其要求的是水平渐近线还是垂直渐近线。
  2. 垂直渐近线就是求出使得函数表达式无意义的x取值,即为所求垂直渐近线。
  3. 水平渐近线需要简化等式,然后判断随着x的无限变大或变小,y值的变化情况。
 
  捷径技巧:
 
  垂直渐近线让分式分母恒等于0,则得出所求垂直渐近线;水平渐近线则是最高次项的系数比。
 


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